16. (2 б) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и внешним углом ВСЕ, который равен 108° проведена биссектриса AD. Доказать, что треугольник ACD — равнобедренный.

Решение:

1. Так как \( \angle BCE \) — внешний угол при вершине \( B \) треугольника \( ABC \), то \( \angle BCE = 108^{\circ} \).
2. Смежный угол \( \angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
3. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA = 72^{\circ} \).
4. Сумма углов треугольника \( ABC \) равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle ABC = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ} \).
5. \( AD \) — биссектриса угла \( \angle BAC \), значит, \( \angle CAD = \angle DAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \).
6. Рассмотрим \( \triangle ACD \). Мы знаем, что \( \angle CAD = 36^{\circ} \) и \( \angle ACD = \angle BCA = 72^{\circ} \).
7. Сумма углов \( \triangle ACD \) равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle ADC = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
8. В \( \triangle ACD \) углы \( \angle ACD = 72^{\circ} \) и \( \angle ADC = 72^{\circ} \). Так как \( \angle ACD = \angle ADC \), то \( \triangle ACD \) является равнобедренным треугольником с основанием \( AC \).

Доказано.