20. (26) В магазин поступило 12 новогодних подарков и конфет, но только в пяти из них есть шоколадное яйцо. Покупатель наугад выбирает два подарка. Найдите количество всех различных вариантов выбора двух подарков, в каждом из которых есть шоколадное яйцо.

Решение:

В магазине 12 подарков. Из них 5 подарков с шоколадным яйцом, а \( 12 - 5 = 7 \) подарков без шоколадного яйца.

Покупатель выбирает два подарка. Нас интересуют случаи, когда в выбранной паре есть хотя бы одно шоколадное яйцо. Это может быть:

• 1) Оба подарка с шоколадным яйцом.
• 2) Один подарок с шоколадным яйцом, а другой — без него.

Вариант 1: Оба подарка с шоколадным яйцом.

Число способов выбрать 2 подарка из 5 с шоколадным яйцом:

\( C_{5}^{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \) вариантов.

Вариант 2: Один подарок с шоколадным яйцом, другой — без него.

Число способов выбрать 1 подарок из 5 с шоколадным яйцом: \( C_{5}^{1} = 5 \).

Число способов выбрать 1 подарок из 7 без шоколадного яйца: \( C_{7}^{1} = 7 \).

Число способов выбрать один из каждого типа: \( C_{5}^{1} \cdot C_{7}^{1} = 5 \cdot 7 = 35 \) вариантов.

Общее количество вариантов, когда в паре есть хотя бы одно шоколадное яйцо:

\( 10 + 35 = 45 \) вариантов.

Альтернативный способ решения:

Найдем общее количество способов выбрать 2 подарка из 12:

\( C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \) вариантов.

Найдем количество способов выбрать 2 подарка, в которых НЕТ шоколадного яйца (то есть из 7 подарков без яйца):

\( C_{7}^{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \) вариант.

Количество вариантов, когда в паре есть хотя бы одно шоколадное яйцо, равно общему количеству вариантов минус количество вариантов без шоколадного яйца:

\( 66 - 21 = 45 \) вариантов.

Ответ: 45.