17. (2 б) Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению.

Решение:

Дано:

• Расстояние по течению \( S_1 = 5 \) км
• Расстояние против течения \( S_2 = 6 \) км
• Общее время \( T = 1 \) ч
• Скорость течения реки \( v_{теч} = 3 \) км/ч

Найти: Скорость лодки по течению \( v_{лод} \) (собственная скорость лодки).

Решение:

1. Пусть \( v_{лод} \) — собственная скорость лодки.
2. Скорость лодки по течению: \( v_{по теч} = v_{лод} + v_{теч} = v_{лод} + 3 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения: \( v_{против теч} = v_{лод} - v_{теч} = v_{лод} - 3 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( T_1 = \frac{S_1}{v_{по теч}} = \frac{5}{v_{лод} + 3} \) ч.
5. Время в пути против течения: \( T_2 = \frac{S_2}{v_{против теч}} = \frac{6}{v_{лод} - 3} \) ч.
6. Общее время: \( T_1 + T_2 = T \)
7. \( \frac{5}{v_{лод} + 3} + \frac{6}{v_{лод} - 3} = 1 \)
8. Приведём к общему знаменателю: \( 5(v_{лод} - 3) + 6(v_{лод} + 3) = (v_{лод} + 3)(v_{лод} - 3) \)
9. \( 5v_{лод} - 15 + 6v_{лод} + 18 = v_{лод}^2 - 9 \)
10. \( 11v_{лод} + 3 = v_{лод}^2 - 9 \)
11. Приведём к квадратному уравнению: \( v_{лод}^2 - 11v_{лод} - 12 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
13. Корни уравнения:
• \( v_{лод, 1} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) км/ч
• \( v_{лод, 2} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) км/ч
14. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v_{лод} = 12 \) км/ч.

Ответ: 12 км/ч.