16. (2 балла) Основание прямой призмы – равнобочная трапеция, одно из оснований которой в два раза больше другого. Непараллельные боковые грани призмы – квадраты. Высота призмы равна 6 см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см². Вычислите объем призмы.

Дано:

• Прямая призма
• Основание - равнобочная трапеция
• Одно основание в 2 раза больше другого.
• Боковые грани - квадраты.
• Высота призмы (H) = 6 см.
• Площадь боковой поверхности (Sбок) = 144 см².

Найти: Объем призмы (V)

Решение:

1. Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы: Sбок = Pосн * H.
2. Найдем периметр основания:

\[ P_{осн} = \frac{S_{бок}}{H} = \frac{144}{6} = 24 \text{ см} \]

3. Поскольку боковые грани призмы – квадраты, высота призмы равна стороне основания трапеции (боковой стороне). То есть, боковая сторона равнобочной трапеции равна 6 см.
4. Пусть меньшее основание трапеции равно a, тогда большее основание равно 2a.
5. Периметр трапеции: Pосн = a + 2a + 6 + 6 = 3a + 12.
6. Приравняем два выражения для периметра:

\[ 3a + 12 = 24 \]

\[ 3a = 12 \]

\[ a = 4 \text{ см} \]

7. Тогда основания трапеции равны:
• a = 4 см
• 2a = 8 см
8. Теперь найдем высоту трапеции (h_тр). Проведем высоты из концов меньшего основания к большему. Получим прямоугольные треугольники с гипотенузой 6 см и катетами h_тр и (8-4)/2 = 2 см.
9. По теореме Пифагора:

\[ h_{тр}^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32 \]

\[ h_{тр} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]

10. Найдем площадь основания трапеции:

\[ S_{осн} = \frac{a + 2a}{2} \times h_{тр} = \frac{4 + 8}{2} \times 4\sqrt{2} = \frac{12}{2} \times 4\sqrt{2} = 6 \times 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

11. Объем призмы вычисляется по формуле: V = Sосн * H.

\[ V = 24\sqrt{2} \times 6 = 144\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

Ответ: \( 144\sqrt{2} \text{ см}^3 \)