18. (2 балла) В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Объём конуса равен V. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды и вписанного в нее конуса плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и высоту основания.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Высота конуса (h_конуса) совпадает с высотой пирамиды (h_пирамиды).

Радиус основания конуса (r) вписан в равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник вычисляется по формуле: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где a – сторона основания пирамиды.

Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)

Объем пирамиды: \( V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} H \)

Площадь основания правильной треугольной пирамиды: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

Высота пирамиды H равна высоте конуса h.

Подставим \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) в формулу объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} \right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{a^2}{12} h = \frac{\pi a^2 h}{36} \]

Теперь выразим \( a^2 \) из этого уравнения:

\[ a^2 = \frac{36V}{\pi h} \]

Подставим \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) и \( H = h \) в формулу объема пирамиды:

\[ V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) h \]

Подставим выражение для \( a^2 \):

\[ V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{36V}{\pi h} \right) h \]

Сократим h:

\[ V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{36V}{\pi} \]

\[ V_{пирамиды} = \frac{\sqrt{3} \times 36}{3 \times 4 \times \pi} V = \frac{12\sqrt{3}}{12\pi} V = \frac{\sqrt{3}}{\pi} V \]

Ответ: \( V_{пирамиды} = \frac{\sqrt{3}}{\pi} V \)