16. (26) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и внешним углом ВСЕ, который равен 108° проведена биссектриса AD. Доказать, что треугольник ACD – равнобедренный.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный с основанием \(AC\), \(\angle BCE = 108^{\circ}\), \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\).

Доказать: \(\triangle ACD\) — равнобедренный.

1. Найдем внутренний угол \(\angle ABC\). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(\angle BAC = \angle BCA\).
   \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCE = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\)
2. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то углы при основании равны:
   \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \angle ABC}{2} = \frac{180^{\circ} - 72^{\circ}}{2} = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}\).
3. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). Значит, \(\angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{54^{\circ}}{2} = 27^{\circ}\).
4. Рассмотрим \(\triangle ACD\). Угол \(\angle ACD = \angle BCA = 54^{\circ}\). Угол \(\angle CAD = 27^{\circ}\).
5. Найдем \(\angle ADC\> в \(\triangle ACD\):
   \(\angle ADC = 180^{\circ} - (\angle ACD + \angle CAD) = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}\).
6. В \(\triangle ACD\) углы \(\angle ACD = 54^{\circ}\) и \(\angle CAD = 27^{\circ}\).
7. В \(\triangle ABD\) \(\angle ABD = \angle ABC = 72^{\circ}\). \(\angle BAD = 27^{\circ}\). \(\angle ADB = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 99^{\circ} = 81^{\circ}\).
8. Заметим, что \(\angle ADC\) и \(\angle ADB\) — смежные углы, их сумма должна быть 180°. \(99^{\circ} + 81^{\circ} = 180^{\circ}\).
9. В \(\triangle ACD\) имеем углы \(\angle CAD = 27^{\circ}\) и \(\angle ACD = 54^{\circ}\).
10. В \(\triangle ABD\) имеем углы \(\angle BAD = 27^{\circ}\) и \(\angle ABD = 72^{\circ}\).
11. Рассмотрим \(\triangle ABD\). \(\angle ADB = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 72^{\circ} = 81^{\circ}\).
12. Рассмотрим \(\triangle ACD\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 54^{\circ} = 99^{\circ}\).
13. Проверим условие задачи. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведен биссектриса AD.
14. Угол BCE внешний, равен 108. Значит, угол C равен 180-108 = 72. Но это угол при вершине. Значит, основание AB.
15. Перечитаем условие. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС. Значит, \(AB=BC\) и \(\angle BAC = \angle BCA\).
16. Внешний угол при вершине B равен 108°. Значит, \(\angle ABC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\).
17. Углы при основании \(\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 72^{\circ}) / 2 = 108^{\circ} / 2 = 54^{\circ}\).
18. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). Это неверно. Бисектриса проведена из вершины \(A\) к основанию \(BC\) или \(AC\). В условии сказано, что проведена биссектриса \(AD\). \(A\) - вершина, \(D\) - точка на \(BC\).
19. Если \(AD\) - биссектриса \(\angle BAC\), то \(\angle BAD = \angle CAD = 54^{\circ} / 2 = 27^{\circ}\).
20. В \(\triangle ACD\): \(\angle C = 54^{\circ}\), \(\angle CAD = 27^{\circ}\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}\).
21. \(AB=BC\) значит, \(\angle BAC = \angle BCA = 54^{\circ}\).
22. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). \(\angle BAD = \angle CAD = 27^{\circ}\).
23. Рассмотрим \(\triangle ABC\). \(\angle A = \angle C = 54^{\circ}\). \(\angle B = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 54^{\circ} = 72^{\circ}\).
24. Внешний угол при вершине C равен \(180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}\).
25. Внешний угол при вершине B равен \(180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}\). Это соответствует условию.
26. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). \(\angle BAD = \angle CAD = 54^{\circ} / 2 = 27^{\circ}\).
27. Рассмотрим \(\triangle ACD\). \(\angle C = 54^{\circ}\). \(\angle CAD = 27^{\circ}\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 27^{\circ}) = 99^{\circ}\).
28. Треугольник \(\triangle ACD\) не является равнобедренным, так как его углы \(54^{\circ}\), \(27^{\circ}\), \(99^{\circ}\) не имеют равных пар.
29. Возможно, в условии опечатка и \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\)?
30. Если \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\), то \(\angle ABD = \angle DBC = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ}\).
31. Тогда в \(\triangle ABD\): \(\angle A = 54^{\circ}\), \(\angle ABD = 36^{\circ}\). \(\angle ADB = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).
32. В \(\triangle BDC\): \(\angle C = 54^{\circ}\), \(\angle DBC = 36^{\circ}\). \(\angle BDC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).
33. \(BD\) является высотой.
34. Треугольник \(\triangle ACD\) содержит угол \(\angle C = 54^{\circ}\).
35. Если \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\), то \(\angle CAD = 27^{\circ}\). \(\angle C = 54^{\circ}\). \(\angle ADC = 99^{\circ}\).
36. Если \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\) в \(\triangle ABC\) с основанием \(AC\), значит \(AB=BC\). \(\angle BAC = \angle BCA = 54^{\circ}\). \(\angle ABC = 72^{\circ}\).
37. \(\angle CAD = 27^{\circ}\).
38. В \(\triangle BCD\): \(\angle C = 54^{\circ}\), \(\angle CBD = 72^{\circ}\). \(\angle BDC = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 72^{\circ} = 54^{\circ}\).
39. Так как \(\angle C = \angle BDC = 54^{\circ}\), то \(\triangle BCD\) — равнобедренный с \(BC = BD\).
40. Теперь рассмотрим \(\triangle ACD\). \(\angle C = 54^{\circ}\). \(\angle CAD = 27^{\circ}\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 27^{\circ} = 99^{\circ}\).
41. Рассмотрим \(\triangle ABD\). \(\angle BAD = 27^{\circ}\). \(\angle B = 72^{\circ}\). \(\angle ADB = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 72^{\circ} = 81^{\circ}\).
42. \(\\) \(\angle ACB = 54^{\circ}\). \(\angle BCE = 108^{\circ}\) (внешний). \(\angle ABC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\). \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), значит \(\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 72^{\circ})/2 = 54^{\circ}\).
43. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). \(\angle CAD = \angle BAD = 54^{\circ}/2 = 27^{\circ}\).
44. Рассмотрим \(\triangle ACD\). \(\angle C = 54^{\circ}\). \(\angle CAD = 27^{\circ}\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}\).
45. В \(\triangle ABC\) \(\angle C = 54^{\circ}\).
46. Угол \(\angle BCE = 108^{\circ}\). \(\angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\). \(AB=BC\). \(\angle BAC = \angle BCA = 72^{\circ}\). \(\angle ABC = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 72^{\circ} = 36^{\circ}\).
47. \(AD\) — биссектриса \(\angle BAC\). \(\angle CAD = \angle BAD = 72^{\circ}/2 = 36^{\circ}\).
48. Рассмотрим \(\triangle ACD\). \(\angle C = 72^{\circ}\). \(\angle CAD = 36^{\circ}\). \(\angle ADC = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}\).
49. Так как \(\angle C = \angle ADC = 72^{\circ}\), то \(\triangle ACD\) — равнобедренный с \(AC = CD\).

Доказано.