17. (26) Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению.

Решение:

Пусть \(v_л\) — собственная скорость лодки (км/ч), а \(v_т\) — скорость течения реки (км/ч). Скорость лодки по течению равна \(v_л + v_т\), а против течения — \(v_л - v_т\).

Из условия известно:

• Скорость течения \(v_т = 3\) км/ч.
• Расстояние по течению \(S_1 = 5\) км.
• Расстояние против течения \(S_2 = 6\) км.
• Общее время в пути \(T = 1\) ч.

Скорость лодки по течению: \(v_1 = v_л + v_т = v_л + 3\) км/ч.

Скорость лодки против течения: \(v_2 = v_л - v_т = v_л - 3\) км/ч.

Время в пути по течению: \(t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{5}{v_л + 3}\) ч.

Время в пути против течения: \(t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{6}{v_л - 3}\) ч.

Общее время: \(t_1 + t_2 = T\).

\(\frac{5}{v_л + 3} + \frac{6}{v_л - 3} = 1\)

Приведем дроби к общему знаменателю \((v_л + 3)(v_л - 3) = v_л^2 - 9\):

\(\frac{5(v_л - 3) + 6(v_л + 3)}{(v_л + 3)(v_л - 3)} = 1\)

\(\frac{5v_л - 15 + 6v_л + 18}{v_л^2 - 9} = 1\)

\(\frac{11v_л + 3}{v_л^2 - 9} = 1\)

\(11v_л + 3 = v_л^2 - 9\)

\(v_л^2 - 11v_л - 12 = 0\)

Решим квадратное уравнение для \(v_л\). Дискриминант \(D = (-11)^2 - 4 · 1 · (-12) = 121 + 48 = 169\).

\(v_{л1} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12\) км/ч.

\(v_{л2} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) км/ч. Собственная скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень отбрасываем.

Собственная скорость лодки \(v_л = 12\) км/ч.

Найдем скорость лодки по течению:

\(v_{по течению} = v_л + v_т = 12 + 3 = 15\) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.