16. (3 балла) Решите уравнение. \( \cos^2 x + \sin x \cos x = 1 \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Подставим \( 1 \) в уравнение:

\[ \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x \]

Вычтем \( \cos^2 x \) из обеих частей уравнения:

\[ \sin x \cos x = \sin^2 x \]

Перенесем все члены в одну часть:

\[ \sin^2 x - \sin x \cos x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\sin x - \cos x) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( \sin x = 0 \) \(\, \implies \, \) \( x = \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

2. \( \sin x - \cos x = 0 \) \(\, \implies \, \) \( \sin x = \cos x \).

Разделим обе части на \( \cos x \) (при \( \cos x
e 0 \), что выполняется, так как если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и равенство \( \sin x = \cos x \) не выполняется):

\[ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \]\[ \mathrm{tg} x = 1 \]\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \], где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.