16. (3 балла) Решите уравнение. cos^2x + sinx•cosx = 1

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \).

Заменим 1 в уравнении:

\[ \cos^2x + \sin x \cos x = \sin^2x + \cos^2x \]

Вычтем \( \cos^2x \) из обеих частей:

\[ \sin x \cos x = \sin^2x \]

Перенесем всё в одну сторону:

\[ \sin^2x - \sin x \cos x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\sin x - \cos x) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. \( \sin x = 0 \)
2. \( \sin x - \cos x = 0 \)

Решим первое уравнение:

\[ \sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Решим второе уравнение:

\[ \sin x = \cos x \]

Разделим обе части на \( \cos x \) (предполагая, что \( \cos x
e 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), что противоречит \( \sin x = \cos x \)).

\[ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \]

Получаем:

\[ \text{tg } x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \)