17. (3 балла) Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку М: f(x)=x^2+2, если М(2;15)

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 2 \).

Общий вид первообразной \( F(x) \) определяется как:

\[ F(x) = \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

По условию, график первообразной проходит через точку \( M(2; 15) \). Это означает, что при \( x = 2 \) значение \( F(x) = 15 \).

Подставим координаты точки \( M \) в уравнение первообразной:

\[ 15 = \frac{2^3}{3} + 2(2) + C \]

Вычислим:

\[ 15 = \frac{8}{3} + 4 + C \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 15 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + C \]

\( 15 = \frac{20}{3} + C \)

Найдем \( C \):

\[ C = 15 - \frac{20}{3} = \frac{45}{3} - \frac{20}{3} = \frac{25}{3} \]

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{25}{3} \)