16 Четырёхугольник REAB вписан в окружность. Угол REA равен 106°, угол ARB равен 69°. Найдите угол REB. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Четырёхугольник REAB вписан в окружность.
• \[ \angle REA = 106^{\circ} \]
• \[ \angle ARB = 69^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle REB \]

Решение:

1. Четырёхугольник, вписанный в окружность, обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180°.
2. Углы \[ \angle REA \] и \[ \angle RBA \] — противоположные углы четырёхугольника REAB.
3. Следовательно,
   \[ \angle REA + \angle RBA = 180^{\circ} \]
4. 
   \[ 106^{\circ} + \angle RBA = 180^{\circ} \]
5. 
   \[ \angle RBA = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \]
6. Углы
   \[ \angle ARB \] и
   \[ \angle AEB \] — противоположные углы четырёхугольника REAB.
7. Следовательно,
   \[ \angle ARB + \angle AEB = 180^{\circ} \]
8. 
   \[ 69^{\circ} + \angle AEB = 180^{\circ} \]
9. 
   \[ \angle AEB = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ} \]
10. Угол
    \[ \angle REB \] является частью угла
    \[ \angle AEB \].
11. 
    \[ \angle AEB = \angle AER + \angle REB \]
12. Из рисунка видно, что
    \[ \angle REA = \angle REB + \angle BEA \] (это неверно, нужно использовать другой подход).
13. Альтернативный подход:
14. Углы
    \[ \angle REB \] и
    \[ \angle RAB \] — противоположные углы четырёхугольника REAB.
15. 
    \[ \angle REA + \angle RBA = 180^{\circ}
    \]
16. 
    \[ \angle ARB + \angle AEB = 180^{\circ} \]
17. Рассмотрим углы, опирающиеся на одну дугу:
18. 
    \[ \angle RBA \] опирается на дугу
    \[ RA \].
19. 
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \].
20. 
    \[ \angle REB \] и
    \[ \angle RAB \] — противоположные.
21. 
    \[ \angle REA \] и
    \[ \angle RBA \] — противоположные.
22. 
    \[ \angle AEB \] и
    \[ \angle ARB \] — противоположные.
23. Из условия
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \]
24. 
    \[ \angle RBA = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \]
25. Из условия
    \[ \angle ARB = 69^{\circ} \]
26. 
    \[ \angle AEB = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ} \]
27. Обратите внимание на рисунок:
28. Угол
    \[ \angle REB \] является разностью углов
    \[ \angle AEB \] и
    \[ \angle AER \].
29. Нам нужно найти
    \[ \angle REB \].
30. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.
31. 
    \[ \angle REA + \angle EAB + \angle ABR + \angle BRE = 360^{\circ} \]
32. Вписанные углы:
33. 
    \[ \angle RBA \] опирается на дугу
    \[ RA \].
34. 
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \].
35. 
    \[ \angle ARB = 69^{\circ} \].
36. 
    \[ \angle REB = ? \]
37. 
    \[ \angle RAB = ? \]
38. 
    \[ \angle RAE = ? \]
39. 
    \[ \angle ABE = ? \]
40. Используем свойство вписанных углов:
41. Угол
    \[ \angle AEB \] равен половине дуги
    \[ AB \].
42. Угол
    \[ \angle ARB = 69^{\circ} \] также опирается на дугу
    \[ AB \].
43. Следовательно,
    \[ \angle AEB = \angle ARB = 69^{\circ} \]. (Это неверно, так как они опираются на разные дуги).
44. Правильный подход:
45. Углы
    \[ \angle REA \] и
    \[ \angle RBA \] — противоположные.
46. 
    \[ \angle RBA = 180^{\circ} - \angle REA = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \].
47. Углы
    \[ \angle ARB \] и
    \[ \angle AEB \] — противоположные.
48. 
    \[ \angle AEB = 180^{\circ} - \angle ARB = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ} \].
49. Смотрим на рисунок:
50. Угол
    \[ \angle AEB \] складывается из углов
    \[ \angle AER \] и
    \[ \angle REB \].
51. 
    \[ \angle AEB = \angle AER + \angle REB \]
52. Нам дан
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \].
53. Важный момент:
    \[ \angle REA \] и
    \[ \angle RBA \] — противоположные углы.
54. 
    \[ \angle REB \] и
    \[ \angle RAB \] — противоположные углы.
55. Рассмотрим угол
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \].
56. Этот угол складывается из
    \[ \angle REB \] и
    \[ \angle BEA \] (по рисунку).
57. 
    \[ \angle REA = \angle REB + \angle BEA \]
58. Нам известно
    \[ \angle ARB = 69^{\circ} \].
59. Угол
    \[ \angle ARB \] и угол
    \[ \angle AEB \] являются вписанными углами, опирающимися на дугу
    \[ AB \].
60. ОШИБКА:
    \[ \angle ARB \] и
    \[ \angle AEB \] не опираются на одну дугу.
    \[ \angle ARB \] опирается на дугу
    \[ AB \], а
    \[ \angle AEB \] опирается на дугу
    \[ AB \].
61. Итак,
    \[ \angle AEB \] =
    \[ \angle ARB \] = 69^{\(\circ\)} \].
62. Угол
    \[ \angle REA = 106^{\circ} \].
63. 
    \[ \angle REA = \angle REB + \angle BEA \]
64. 
    \[ 106^{\circ} = \angle REB + 69^{\circ} \]
65. 
    \[ \angle REB = 106^{\circ} - 69^{\circ} \]
66. 
    \[ \angle REB = 37^{\circ} \].

Ответ: 37