21 Расстояние между пристанями А и В равно 144 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 72 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Дано:

• Расстояние AB = 144 км
• Скорость течения реки
  \[ v_{теч} = 4 \text{ км/ч} \]
• Плот отправился из А в В.
• Лодка отправилась через 3 часа после плота.
• Лодка прибыла в В, повернула обратно и вернулась в А.
• К моменту возвращения лодки в А, плот прошёл 72 км.

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде
  \[ v_{лод} \]

Решение:

1. Определим время в пути плота:
• Плот прошёл 72 км со скоростью течения реки (так как плот движется по течению).
• Скорость плота
  \[ v_{плот} = v_{теч} = 4 \text{ км/ч} \]
• Время в пути плота до момента, когда лодка вернулась в А:
• \[ t_{плот} = \frac{\text{Расстояние, пройденное плотом}}{\text{Скорость плота}} = \frac{72 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 18 \text{ часов} \]
2. Определим время в пути лодки:
• Лодка была в пути столько же, сколько и плот, то есть 18 часов.
• Но лодка вышла на 3 часа позже, значит, её чистое время в пути:
• \[ t_{лод} = t_{плот} - 3 \text{ часа} = 18 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 15 \text{ часов} \]
3. Определим расстояние, которое проплыла лодка:
• Лодка сначала плыла из А в В (144 км), а затем обратно из В в А (144 км).
• Общее расстояние, пройденное лодкой:
• \[ S_{лод} = 144 \text{ км} + 144 \text{ км} = 288 \text{ км} \]
4. Найдем скорость лодки в неподвижной воде:
• Скорость лодки по течению:
  \[ v_{лод} + v_{теч} \]
• Скорость лодки против течения:
  \[ v_{лод} - v_{теч} \]
• Общее время в пути лодки = время движения по течению + время движения против течения.
• 
  \[ t_{лод} = \frac{144}{v_{лод} + v_{теч}} + \frac{144}{v_{лод} - v_{теч}} \]
• Подставляем известные значения
  \[ t_{лод} = 15 \text{ ч} \] и
  \[ v_{теч} = 4 \text{ км/ч} \]:
• 
  \[ 15 = \frac{144}{v_{лод} + 4} + \frac{144}{v_{лод} - 4} \]
• Разделим обе части уравнения на 144:
• 
  \[ \frac{15}{144} = \frac{1}{v_{лод} + 4} + \frac{1}{v_{лод} - 4} \]
• Упростим дробь
  \[ \frac{15}{144} \] (делим на 3):
  \[ \frac{5}{48} \]
• 
  \[ \frac{5}{48} = \frac{(v_{лод} - 4) + (v_{лод} + 4)}{(v_{лод} + 4)(v_{лод} - 4)} \]
• 
  \[ \frac{5}{48} = \frac{2 v_{лод}}{v_{лод}^2 - 16} \]
• Перемножим крест-накрест:
• 
  \[ 5 (v_{лод}^2 - 16) = 48 \times 2 v_{лод} \]
• 
  \[ 5 v_{лод}^2 - 80 = 96 v_{лод} \]
• Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• 
  \[ 5 v_{лод}^2 - 96 v_{лод} - 80 = 0 \]
5. Решаем квадратное уравнение:
• Используем дискриминант
  \[ D = b^2 - 4ac \]
• 
  \[ a = 5, b = -96, c = -80 \]
• 
  \[ D = (-96)^2 - 4 \times 5 \times (-80) \]
• 
  \[ D = 9216 + 1600 \]
• 
  \[ D = 10816 \]
• 
  \[ \sqrt{D} = \sqrt{10816} = 104 \]
• Находим корни:
• 
  \[ v_{лод1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 + 104}{2 \times 5} = \frac{200}{10} = 20 \]
• 
  \[ v_{лод2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 - 104}{2 \times 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \]
• Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень.

Ответ: 20