16. Даны векторы $$\vec{a}(1; 3)$$ и $$\vec{b}(-4; 12)$$. Найдите $$\cos \alpha$$, где \(\alpha\) – угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

1. Вычислим скалярное произведение векторов:
   \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 12 = -4 + 36 = 32 \]
2. Вычислим длины векторов:
   Длина вектора \(\vec{a}\):
   \[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
   Длина вектора \(\vec{b}\):
   \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]
3. Найдем косинус угла между векторами:
   Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \(\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
   \[ \cos \alpha = \frac{32}{\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10}} = \frac{32}{4 \cdot 10} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \]

Ответ: 4/5