16. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-n+1})$

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-n+1})$$ Фото задания

16. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-n+1})$

Accepted Answer

Домножим на сопряжённое выражение и упростим:

$\displaystyle\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-n+1}=\frac{(n^2+n+2)-(n^2-n+1)}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-n+1}}=\frac{2n+1}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-n+1}}.$

В числителе и знаменателе разделим на $n$ (при $n\to\infty$, $n>0$): $\displaystyle\frac{2+1/n}{\sqrt{1+1/n+2/n^2}+\sqrt{1-1/n+1/n^2}}\to\frac{2}{2}=1$.

Ответ: 1.

16. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-n+1})\)

Ответ: