17. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+7n+9n^2}-3n$

Question

Вопрос: $Фото задания: 17. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+7n+9n^2}-3n$$ Фото задания

Accepted Answer

Вынесем $n^2$ из-под корня, учитывая, что при $n\to\infty$ имеем $n>0$:

$\displaystyle\sqrt{12+7n+9n^2}-3n=n\left(\sqrt{9+\frac7n+\frac{12}{n^2}}-3\right).$

Рационализируем выражение:

$\displaystyle n\left(\sqrt{9+\frac7n+\frac{12}{n^2}}-3\right)=\frac{7+12/n}{\sqrt{9+7/n+12/n^2}+3}.$

При $n\to\infty$ получаем $\frac{7}{3+3}=\frac76$.

Ответ: $\frac76$.

17. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+7n+9n^2}-3n\)