16. Двузначное число в системе счисления с основанием 5 при перестановке местами цифр становится числом, меньшим на единицу, но записанным в системе счисления с основанием 6. Найдите исходное число и представьте его в десятичной системе счисления.

Обозначим цифры исходного числа через \(a\) и \(b\). Исходное число равно \(5a+b\), а число после перестановки цифр, записанное в системе с основанием 6, равно \(6b+a\). По условию оно на единицу меньше исходного:

\(6b+a=5a+b-1\), откуда \(5b+1=4a\).

Здесь \(a\) — цифра десятков числа в системе с основанием 5, поэтому \(1\le a\le4\), а \(0\le b\le4\). Из равенства подходит \(b=3\), тогда \(a=4\). Проверка: \(43_5=23_{10}\), а переставленное число \(34_6=22_{10}\), то есть на единицу меньше.

Ответ: исходное число — 43₅, в десятичной системе — 23.