16. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 5. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

У нас есть окружность с центром в точке A, проходящая через точку C. Следовательно, радиус окружности равен AC.

Дано:

• \( AC = 60 \) (радиус окружности, \( r \))
• \( BC = 5 \)

Нужно найти длину касательной BC, проведенной из точки B к окружности.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом C.

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = 60^2 + 5^2 \]

\[ AB^2 = 3600 + 25 \]

\[ AB^2 = 3625 \]

Теперь найдём AB:

\[ AB = \sqrt{3625} \]

\[ AB = \sqrt{25 \cdot 145} \]

\[ AB = 5\sqrt{145} \]

Ответ: \( 5\sqrt{145} \)