16. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 3,2, АВ = 3.

Задание 16

Дано:

• Треугольник АВС.
• Окружность с центром на стороне АС.
• Окружность проходит через С.
• Окружность касается прямой АВ в точке В.
• Диаметр окружности \( d = 3,2 \).
• \( AB = 3 \).

Найти: Длину стороны АС.

Решение:

Пусть О — центр окружности. Так как центр окружности лежит на стороне АС, то А, О, С лежат на одной прямой. Отрезки ОС и ОВ являются радиусами окружности.

Поскольку окружность проходит через С, то \( OC = R \).

Поскольку окружность касается прямой АВ в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Следовательно, \( \angle ABO = 90^\circ \). Значит, треугольник АВО — прямоугольный.

Диаметр окружности равен 3,2, следовательно, радиус окружности \( R = \frac{3,2}{2} = 1,6 \).

Так как О — центр окружности, то \( OC = R = 1,6 \).

Также \( OB = R = 1,6 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AO^2 = 3^2 + (1,6)^2 \] \[ AO^2 = 9 + 2,56 \] \[ AO^2 = 11,56 \]

Найдем \( AO \):

\[ AO = \sqrt{11,56} \]

Вычислим корень: \( \sqrt{11,56} = 3,4 \).

Итак, \( AO = 3,4 \).

Центр О лежит на стороне АС, поэтому \( AC = AO + OC \).

Подставим найденные значения:

\( AC = 3,4 + 1,6 \)

\( AC = 5 \)

Ответ: 5.