16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике диагональ является диаметром описанной окружности. Пусть сторона прямоугольника равна \( a \), а диагональ — \( d \). Синус угла между стороной \( a \) и диагональю \( d \) равен отношению противолежащей стороны (второй стороны прямоугольника, обозначим её \( b \)) к диагонали:

\( \sin \alpha = \frac{b}{d} \)

Из условия задачи \( \sin \alpha = 0,96 \) и \( d = 25 \).

\( 0,96 = \frac{b}{25} \)

\( b = 0,96 \times 25 = 24 \)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \):

\( a^2 + b^2 = d^2 \)

\( a^2 + 24^2 = 25^2 \)

\( a^2 + 576 = 625 \)

\( a^2 = 625 - 576 = 49 \)

\( a = \sqrt{49} = 7 \)

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S = a \times b = 7 \times 24 = 168 \)

Ответ: 168