16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{35}{37}\). Диаметр описанной около него окружности равен 37. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

1. Диаметр описанной окружности для прямоугольника равен его диагонали. Значит, диагональ прямоугольника \( d = 37 \).

2. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной прямоугольника и его диагональю. По условию, \( \sin \alpha = \frac{35}{37} \).

3. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами прямоугольника и диагональю, синус угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (стороны прямоугольника) к гипотенузе (диагонали).

4. Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Пусть \( b \) — сторона, противолежащая углу \( \alpha \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \).

5. Найдём длину стороны \( b \): \( b = d \cdot \sin \alpha = 37 \cdot \frac{35}{37} = 35 \).

6. Найдём длину другой стороны \( a \), используя теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \). \( a^2 + 35^2 = 37^2 \). \( a^2 = 37^2 - 35^2 \). \( a^2 = (37-35)(37+35) \). \( a^2 = 2 \cdot 72 \). \( a^2 = 144 \). \( a = \sqrt{144} = 12 \).

7. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a \cdot b = 12 \cdot 35 \).

\( 12 \cdot 35 = 12 \cdot (30 + 5) = 360 + 60 = 420 \).

Ответ: 420