19. Какие из следующих утверждений верны? 1). Любые два равносторонних треугольника подобны. 2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом. 3) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Проверим каждое утверждение:

1. 1) Любые два равносторонних треугольника подобны.

Равносторонние треугольники имеют все углы равными 60°. По признаку подобия по двум углам (или по трем углам), если у двух треугольников все углы равны, то такие треугольники подобны. Следовательно, это утверждение верно.

2. 2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

Четырёхугольник, у которого диагонали равны и перпендикулярны, и при этом делятся точкой пересечения пополам, является квадратом. Однако, в условии не сказано, что диагонали делятся пополам. Например, у ромба диагонали перпендикулярны, но не всегда равны. У равнобедренной трапеции диагонали равны, но не обязательно перпендикулярны. Если диагонали равны и перпендикулярны, но не делятся пополам, то это может быть, например, квадрат, но не обязательно. Поэтому это утверждение неверно.

3. 3) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

По определению, средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и он параллелен основаниям трапеции. Следовательно, это утверждение верно.

Верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 13