16. Тип 16 № 350962 АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 70°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, градусная мера дуги \( AB \) равна удвоенной величине вписанного угла:

\[ \text{arc}(AB) = 2 · \angle ACB = 2 · 70^{\circ} = 140^{\circ} \].

Угол \( AOD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AD \).

Угол \( ACB \) равен 70°, значит, угол \( ADB \) также равен 70°, так как опирается на ту же дугу \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( OA = OB \) (радиусы), поэтому он равнобедренный. Угол \( OAB = OBA \).

Рассмотрим треугольник \( COD \). \( OC = OD \) (радиусы), поэтому он равнобедренный. Угол \( OCD = ODC \).

Углы \( ACB \) и \( ADB \) равны 70°.

Угол \( BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( BC \).

Угол \( CAD \) и \( CBD \) равны, так как опираются на дугу \( CD \).

Так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры, то они пересекаются в центре \( O \). Следовательно, \( ∠ AOD \) и \( ∠ BOC \) — вертикальные углы.

Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( OB=OC \), значит \( ∠ OBC = ∠ OCB \).

Угол \( OCB \) является частью угла \( ACB \).

Угол \( ACB = 70^{\circ} \). Угол \( AOB \) — центральный, опирается на дугу \( AB \), которая равна \( 140^{\circ} \). Значит \( ∠ AOB = 140^{\circ} \).

Углы \( AOD \) и \( BOC \) — вертикальные. Углы \( AOB \) и \( COD \) — вертикальные.

Угол \( ACB = 70^{\circ} \). Так как \( AC \) — диаметр, то угол \( ABC \) равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

В треугольнике \( ABC \): \( ∠ BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).

Угол \( CAD \) и \( CBD \) равны. Угол \( ADB = 70^{\circ} \).

В треугольнике \( AOD \): \( OA = OD \), значит он равнобедренный.

Угол \( ADC \) равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр \( AC \)).

В треугольнике \( ADC \): \( ∠ ACD + ∠ CAD + ∠ ADC = 180^{\circ} \).

Угол \( ACD \) равен \( ∠ ACB + ∠ BCD = 70^{\circ} + ∠ BCD \). Это слишком сложно.

Проще:

Угол \( ACB = 70^{\circ} \). Дуга \( AB = 140^{\circ} \).

Угол \( BOC \) и \( AOD \) — вертикальные. Угол \( AOB \) и \( COD \) — вертикальные.

Так как \( AC \) — диаметр, дуга \( ABC = 180^{\circ} \). Дуга \( BC = 180^{\circ} - \text{arc}(AB) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Центральный угол \( BOC \) равен дуге, на которую он опирается, то есть \( ∠ BOC = 40^{\circ} \).

Угол \( AOD \) равен \( ∠ BOC \) как вертикальные углы.

\[ ∠ AOD = ∠ BOC = 40^{\circ} \].

Ответ: 40 градусов.