16. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC - ромб. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Так как OABC - ромб, то OA = AB = BC = CO. Поскольку все вершины ромба лежат на окружности с центром в точке O, то OA и OC являются радиусами этой окружности. Следовательно, треугольники OAB и OBC - равнобедренные (OA=AB и OB=BC). Так как OABC - ромб, углы \(\angle OAB\) и \(\angle ABC\) равны. Сумма углов OAB и OBC составляет 180 градусов, т.к. углы ромба прилежащие к одной стороне в сумме дают 180 градусов. Тогда, пусть \(\angle OAB = x\), а \(\angle ABC = x\), то \(x + x = 180\), значит \(2x = 180\), и \(x = 90\). То есть \(\angle OAB = 90\). Значит, угол ABC = 120 градусов. Объяснение: Так как OABC - ромб, то OA=AB=BC=CO. Так как все вершины ромба лежат на окружности с центром в точке O, то OA и OC являются радиусами этой окружности, и следовательно OA=OC. Значит, треугольники OAB и OBC - равнобедренные (OA=AB и OB=BC). В ромбе противоположные углы равны, а углы прилежащие к одной стороне в сумме дают 180 градусов. Поскольку OABC - ромб, \(\angle OAB = \angle BCO\) и \(\angle ABC = \angle AOC\). Сумма углов OAB и ABC составляет 180 градусов. Обозначив угол OAB через x, получаем \(\angle ABC = 180 - x\). Так как OA=AB, треугольник OAB - равнобедренный, и \(\angle OBA = \angle AOB\). Аналогично, так как OB=BC, треугольник OBC - равнобедренный, и \(\angle BOC = \angle BCO\). Следовательно, \(\angle OBA = \angle AOB = (180 - x) / 2 = 90 - x/2\). Значит, \(\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 2* (90 -x/2)=120\) Ответ: 120