16 В угол С, величина которого 57°, вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О – центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник АОВС. В нем:

• \( \angle C = 57^{\circ} \) (по условию).
• \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, проведенные в точки касания \( A \) и \( B \) соответственно.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Сумма углов четырехугольника равна 360°. Поэтому:

\[ \angle AOB + \angle OAC + \angle C + \angle OBC = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 90^{\circ} + 57^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 237^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 360^{\circ} - 237^{\circ} = 123^{\circ} \]

Ответ: 123