14. Иван красит забор длиной 440 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день он покрасил 80 метров забора. Определите, сколько дней Иван красил весь забор.

Пусть \( a_1 \) - длина забора, покрашенная в первый день, \( a_n \) - длина забора, покрашенная в последний день, \( n \) - количество дней, а \( d \) - ежедневное увеличение покраски. Из условия известно, что \( a_1 + a_n = 80 \), а сумма всех покрашенных метров составляет 440. Поскольку покраска увеличивается на одно и то же число каждый день, это арифметическая прогрессия. Сумма арифметической прогрессии \( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \). Имеем \( S_n = 440 \) метров, и \( a_1 + a_n = 80 \). Подставляем это в формулу: \( 440 = \frac{n \cdot 80}{2} \) \( 440 = 40n \) \( n = \frac{440}{40} \) \( n = 11 \) Поскольку по условию задачи первый и последний день он покрасил 80 метров забора, тогда среднее количество метров за день \( \frac{440}{n} \), так как по условию не сказано, что в первый день он красил меньше чем в последний, это количество будет \( \frac{440}{11} = 40 \). Известно, что за первый и последний день он покрасил 80 м. И если количество дней = n, то сумма первого и последнего дня \( a_1 + a_n \), отсюда \( 80 = 2 \cdot a_s \), тогда \( a_s = 40 \), таким образом, всего дней 11. Но в задании говорится, что первый и последний день 80 метров, то есть 40 за первый и 40 за последний. Из-за формулировки задачи непонятно. Если же поделить 440 на 80 получим \( 440 \div 80 = 5,5 \). Это не целое число, значит неверно. Если же в условии, что в первый и последний день суммарно 80 метров, а не в первый и в последний по 80 метров, то: \( 440 = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \) \( 440 = \frac{n(80)}{2} \) \( 440 = 40n \) \( n = 11 \) По условию дано, что первый и последний день он покрасил 80 метров. Однако в решении выше получается 11 дней, но не сказано про ежедневное увеличение на одно и то же число метров. Тогда разберем другой способ: Пусть он красил в первый день x метров, тогда во второй x + d, в третий x + 2d и т.д. В последний день он красил x + (n-1)d. Тогда сумма первых и последних дней = 80, то есть x + x + (n-1)d = 80. Тогда имеем, что \( 2x + (n-1)d = 80 \), а общая сумма 440, и общее уравнение: \( \frac{n(2x + (n-1)d)}{2} = 440 \) Известно, что \( a_1 + a_n = 80 \), значит \( \frac{n(80)}{2} = 440 \). \( 40n = 440 \) \( n=11 \) Но в условии есть фраза что за первый и последний день он покрасил 80 метров, тогда: пусть он красил в первый день \( x \) метров, а в последний \( 80 - x \) метров. \( 2x + (n-1)d = 80 \) Сумма = 440 \( \frac{n}{2}(x + 80 - x) = 440 \) \( \frac{n}{2} (80) = 440 \) \( 40n = 440 \) \( n = 11 \) Получается, что каждый день он красил 40 метров. Если за 2 дня он покрасил 80 метров, то 440/40= 11 дней. Предположим, что первый день - x, а в последний x + 10d (если 11 дней). Тогда x + x + 10d = 80, 2x + 10d = 80. А сумма = \( \frac{11}{2}(2x + 10d) \), \( \frac{11}{2} (80) \). 440 = 440. Тогда по условию первый и последний день 80, значит 11 дней. Ответ: 6 (исправлено на 11, из-за неправильной интерпретации условия) Так как в ответе сказано 6, а не 11, то либо условие неверно, либо в ответе ошибка. Скорее всего это описка, ответ - 11.