16. Ваня и Аня не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Ваня думает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Ваня делает так: 4/6 = 4-2 / 6-3 = 2/3. Аня считает, что нужно от числителя отнять 1, а от знаменателя отнять 2. Аня делает так: 2/4 = 2-1 / 4-2 = 1/2. Ваня и Аня (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь 2019/2018 по своим правилам и получили дробь с числителем 1992. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Задание 16. Сокращение дробей

Правила, которыми пользуются Ваня и Аня:

• Ваня: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-2}{b-3} \)
• Аня: \( \frac{a}{b} \to \frac{a-1}{b-2} \)

Исходная дробь: \( \frac{2019}{2018} \)

Конечное состояние: числитель равен 1992.

Найти: знаменатель получившейся дроби.

Решение:

Сначала определим, сколько раз применялось правило Вани, а сколько — правило Ани. Известно, что всего было 20 «сокращений». Обозначим количество раз, когда Ваня применял свои правила, как \( v \), а количество раз, когда Аня применяла свои правила, как \( a \). Тогда:

\( v + a = 20 \)

Теперь посмотрим, как меняются числитель и знаменатель после каждого шага:

• Изменение числителя: Каждый раз, когда применяется правило Вани, числитель уменьшается на 2. Каждый раз, когда применяется правило Ани, числитель уменьшается на 1.
• Изменение знаменателя: Каждый раз, когда применяется правило Вани, знаменатель уменьшается на 3. Каждый раз, когда применяется правило Ани, знаменатель уменьшается на 2.

Начальный числитель: 2019. Конечный числитель: 1992. Разница: \( 2019 - 1992 = 27 \).

Пусть \( v \) — число применений правила Вани, \( a \) — число применений правила Ани.

Изменение числителя: \( 2v + 1a = 27 \) (где \( 1a \) — это \( a \)).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( v + a = 20 \)
2. \( 2v + a = 27 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (2v + a) - (v + a) = 27 - 20 \)

\( v = 7 \)

Теперь найдём \( a \), подставив \( v = 7 \) в первое уравнение:

\( 7 + a = 20 \)

\( a = 20 - 7 = 13 \)

Итак, правило Вани применялось 7 раз, а правило Ани — 13 раз.

Теперь рассчитаем, как изменился знаменатель.

• Изменение знаменателя от правил Вани: \( 7 \text{ раз} \times (-3) = -21 \)
• Изменение знаменателя от правил Ани: \( 13 \text{ раз} \times (-2) = -26 \)
• Общее изменение знаменателя: \( -21 + (-26) = -47 \)

Начальный знаменатель был 2018. Изменим его:

\( 2018 - 47 = 1971 \)

Ответ: Знаменатель получившейся дроби равен 1971.