16. Вычислите, предварительно сократив дроби: \( \frac{36}{126} + \frac{110}{121} \)

Решение:

Сначала сократим каждую дробь отдельно.

Сократим \( \frac{36}{126} \):

Найдем НОД(36, 126).

\( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

\( 126 = 2 \times 3^2 \times 7 \)

НОД(36, 126) = \( 2 \times 3^2 = 18 \).

\( \frac{36 \div 18}{126 \div 18} = \frac{2}{7} \).

Сократим \( \frac{110}{121} \):

Числитель 110 заканчивается на 0, знаменатель 121 — нет. Проверим делимость на 11.

\( 110 \div 11 = 10 \)

\( 121 \div 11 = 11 \)

\( \frac{110}{121} = \frac{10}{11} \).

Теперь сложим полученные дроби:

\( \frac{2}{7} + \frac{10}{11} \)

Найдем общий знаменатель для 7 и 11. Так как они простые, НОК(7, 11) = \( 7 \times 11 = 77 \).

Приведём дроби к знаменателю 77:

\( \frac{2}{7} = \frac{2 \times 11}{7 \times 11} = \frac{22}{77} \)

\( \frac{10}{11} = \frac{10 \times 7}{11 \times 7} = \frac{70}{77} \)

Сложим дроби:

\( \frac{22}{77} + \frac{70}{77} = \frac{22 + 70}{77} = \frac{92}{77} \)

Переведём неправильную дробь в смешанное число:

\( \frac{92}{77} = 1 \frac{15}{77} \)

Ответ: \( \frac{92}{77} \) или \( 1 \frac{15}{77} \).