16. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 819. Какое число задумали. Напишите свое решение.

Решение:

Пусть двузначное число состоит из цифр \( a \) (десятки) и \( b \) (единицы). Число можно представить как \( 10a + b \). Произведение цифр равно \( a \cdot b \).

По условию задачи: \( (10a + b) \cdot (a \cdot b) = 819 \).

1. Анализ числа 819:

• Число 819 делится на 3 (сумма цифр 8+1+9=18), на 7, на 9.
• \( 819 = 9 \cdot 91 = 9 \cdot 7 \cdot 13 \).

2. Поиск двузначного числа:

Двузначное число \( 10a + b \) должно быть делителем 819. Возможные двузначные делители 819: 9, 13, 21, 39, 63, 91.

Проверим каждый вариант:

• Если число 13: \( a = 1, b = 3 \). Произведение цифр \( 1 \cdot 3 = 3 \). \( 13 \cdot 3 = 39 \) (не 819).
• Если число 21: \( a = 2, b = 1 \). Произведение цифр \( 2 \cdot 1 = 2 \). \( 21 \cdot 2 = 42 \) (не 819).
• Если число 39: \( a = 3, b = 9 \). Произведение цифр \( 3 \cdot 9 = 27 \). \( 39 \cdot 27 = 1053 \) (не 819).
• Если число 63: \( a = 6, b = 3 \). Произведение цифр \( 6 \cdot 3 = 18 \). \( 63 \cdot 18 = 1134 \) (не 819).
• Если число 91: \( a = 9, b = 1 \). Произведение цифр \( 9 \cdot 1 = 9 \). \( 91 \cdot 9 = 819 \) (подходит!).

3. Проверка:

• Задуманное число: 91.
• Произведение его цифр: \( 9 \cdot 1 = 9 \).
• Умножаем число на произведение цифр: \( 91 \cdot 9 = 819 \).

Ответ: задумали число 91.