16. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 819. Какое число задумали. Напишите свое решение.

Решение:

Пусть задуманное двузначное число — \( N \). Пусть его цифры — \( a \) (десятки) и \( b \) (единицы). Тогда число можно записать как \( N = 10a + b \). Произведение цифр равно \( a \times b \).

По условию задачи: \( (10a + b) \times (a \times b) = 819 \).

Разложим число 819 на простые множители: \( 819 = 3 \times 3 \times 7 \times 13 = 9 \times 7 \times 13 \).

Число \( N = 10a + b \) — двузначное, значит, \( 10 \le N \le 99 \).

Произведение цифр \( a \times b \) также должно быть делителем числа 819. Проверим возможные варианты.

Возможные значения произведения цифр \( a \times b \) (делители 819): 1, 3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 117, ...

Рассмотрим пары \( (a, b) \), где \( a \) — первая цифра (от 1 до 9), \( b \) — вторая цифра (от 0 до 9).

Вариант 1: Произведение цифр равно 7.

• Если \( a \times b = 7 \), то возможна пара \( (1, 7) \) или \( (7, 1) \).
• Если \( a=1, b=7 \), то число \( N = 17 \). Произведение цифр \( 1 \times 7 = 7 \). Проверим: \( 17 \times 7 = 119 \) (не равно 819).
• Если \( a=7, b=1 \), то число \( N = 71 \). Произведение цифр \( 7 \times 1 = 7 \). Проверим: \( 71 \times 7 = 497 \) (не равно 819).

Вариант 2: Произведение цифр равно 9.

• Если \( a \times b = 9 \), то возможны пары \( (1, 9), (9, 1), (3, 3) \).
• Если \( a=1, b=9 \), то \( N = 19 \). \( 19 \times 9 = 171 \) (не равно 819).
• Если \( a=9, b=1 \), то \( N = 91 \). \( 91 \times 9 = 819 \). Это подходит!
• Если \( a=3, b=3 \), то \( N = 33 \). \( 33 \times 9 = 297 \) (не равно 819).

Вариант 3: Произведение цифр равно 13.

Произведение цифр не может быть 13, так как 13 — простое число, и его множители (1 и 13) не могут быть цифрами двузначного числа.

Вариант 4: Произведение цифр равно 21.

• Если \( a \times b = 21 \), то возможна пара \( (3, 7) \) или \( (7, 3) \).
• Если \( a=3, b=7 \), то \( N = 37 \). \( 37 \times 21 = 777 \) (не равно 819).
• Если \( a=7, b=3 \), то \( N = 73 \). \( 73 \times 21 = 1533 \) (не равно 819).

Вариант 5: Произведение цифр равно 63.

• Если \( a \times b = 63 \), то возможна пара \( (7, 9) \) или \( (9, 7) \).
• Если \( a=7, b=9 \), то \( N = 79 \). \( 79 \times 63 = 4977 \) (не равно 819).
• Если \( a=9, b=7 \), то \( N = 97 \). \( 97 \times 63 = 6111 \) (не равно 819).

Наиболее вероятный вариант, который дал верный результат, — это когда число равно 91, а произведение цифр равно 9. В этом случае \( 91 \times 9 = 819 \).

Ответ: 91.