161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных: а) \(\left(\dfrac{2ab}{a^2-b^2}+\dfrac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}\); б) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\cdot\left(\dfrac{x}{(x-y)^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right)\).

а) Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{a+b}{2(a-b)}.\)

Тогда исходное выражение равно \(\dfrac{a+b}{2(a-b)}\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}=1.\)

б) Сначала упростим выражение в скобках:

\(\dfrac{x}{(x-y)^2}-\dfrac{y}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}=\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}.\)

Поскольку \(x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)\), произведение перед скобками упрощается:

\(\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}=\dfrac{x}{x-y}.\)

Значит, всё выражение равно \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}=-1.\)

Ответ: а) 1; б) −1.