162. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $\left(\dfrac{9}{n^2}+\dfrac{n}{3}\right):\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3}\right)$ является натуральным числом.

Question

Вопрос: $Фото задания: 162. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3n^2$:

$\left(\dfrac{9}{n^2}+\dfrac{n}{3}\right):\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{27+n^3}{9-3n+n^2}.$

Используем разложение суммы кубов: $n^3+27=(n+3)(n^2-3n+9)$. Тогда

$\dfrac{(n+3)(n^2-3n+9)}{n^2-3n+9}=n+3.$

При натуральном $n$ число $n+3$ также натуральное.

Ответ: значение выражения равно $n+3$, поэтому оно натуральное.

162. Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(\left(\dfrac{9}{n^2}+\dfrac{n}{3}\right):\left(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3}\right)\) является натуральным числом.