б) Докажите тождество: $\dfrac{a+b}{2(a-b)}-\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: б) Докажите тождество: $\dfrac{a+b}{2(a-b)}-\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем обе части при допустимых значениях переменных.

Левая часть:

$\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{4ab}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.$

Правая часть, учитывая $b^2-ab=-b(a-b)$:

$\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}=\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}.$

Обе части равны, следовательно, тождество доказано.

б) Докажите тождество: \(\dfrac{a+b}{2(a-b)}-\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}\).