161. Представьте дробь в виде суммы трёх дробей, знаменатели которых являются многочленами первой степени: а) \(\frac{3x^2-4}{x^3-4x}\); б) \(\frac{2y^2-5y+3}{y^3-4y^2+3y}\); в) \(\frac{3z^2+6z+2}{z^3+3z^2+2z}\).

Разложим знаменатели на множители и разложим дроби на простые.

а). \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Ищем представление \(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}\). Сравнение коэффициентов даёт \(A=1, B=\frac12, C=\frac32\). Поэтому \(\frac{3x^2-4}{x^3-4x}=\frac1x+\frac{1}{2(x-2)}+\frac{3}{2(x+2)}\).

б). \(y^3-4y^2+3y=y(y-1)(y-3)\). Представление имеет вид \(\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}+\frac{C}{y-3}\). Подстановка корней множителей даёт \(A=1, B=0, C=2\). Значит, \(\frac{2y^2-5y+3}{y^3-4y^2+3y}=\frac1y+\frac{0}{y-1}+\frac{2}{y-3}\).

в). \(z^3+3z^2+2z=z(z+1)(z+2)\). Для \(\frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z+2}\) получаем \(A=1, B=1, C=1\). Поэтому \(\frac{3z^2+6z+2}{z^3+3z^2+2z}=\frac1z+\frac1{z+1}+\frac1{z+2}\).

Ответ: а) \(\frac1x+\frac{1}{2(x-2)}+\frac{3}{2(x+2)}\); б) \(\frac1y+\frac{0}{y-1}+\frac2{y-3}\); в) \(\frac1z+\frac1{z+1}+\frac1{z+2}\).