163. Найдите все целые значения дроби, зная, что $n\in\mathbb N$: а) $\frac{n^2-4}{n+3}$; б) $\frac{n^2-3n-15}{n-5}$; в) $\frac{n^3-n^2-n+7}{n+1}$; г) $\frac{(n-1)(n+1)^2-1}{n-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 163. Найдите все целые значения дроби, зная, что $n\in\mathbb N$: а) $\frac{n^2-4}{n+3}$; б) $\frac{n^2-3n-15}{n-5}$;…$ Фото задания

163. Найдите все целые значения дроби, зная, что $n\in\mathbb N$: а) $\frac{n^2-4}{n+3}$; б) $\frac{n^2-3n-15}{n-5}$; в) $\frac{n^3-n^2-n+7}{n+1}$; г) $\frac{(n-1)(n+1)^2-1}{n-1}$.

Accepted Answer

а). Деление даёт $\frac{n^2-4}{n+3}=n-3+\frac{5}{n+3}$. Для целого значения $n+3$ должно делить 5. При натуральном $n$ имеем $n+3\ge4$, значит, $n+3=5$, откуда $n=2$. Значение дроби равно $-1$.

б). $\frac{n^2-3n-15}{n-5}=n+2-\frac{5}{n-5}$. При натуральном $n\ne5$ знаменатель должен быть делителем 5: $n-5\in\{-5,-1,1,5\}$. Отсюда допустимы $n=4,6,10$, а значения дроби соответственно $-3,3,11$.

в). Деление на $n+1$ даёт $n^2-2n+1+\frac{6}{n+1}$. Для целого значения $n+1$ делит 6. При натуральном $n$, $n+1\ge2$, поэтому $n+1=2,3,6$, то есть $n=1,2,5$. Значения дроби: $6,3,16$ соответственно.

г). Раскрывая числитель, получаем $(n-1)(n+1)^2-1=n^3+n^2-n-2$. Деление на $n-1$ даёт $n^2+2n+1-\frac{1}{n-1}$. При $n=1$ дробь не определена. При натуральном $n>1$, чтобы значение было целым, нужно $n-1=1$, то есть $n=2$. Значение дроби равно 8.

Ответ: а) −1; б) −3, 3, 11; в) 3, 6, 16; г) 8.

163. Найдите все целые значения дроби, зная, что \(n\in\mathbb N\): а) \(\frac{n^2-4}{n+3}\); б) \(\frac{n^2-3n-15}{n-5}\); в) \(\frac{n^3-n^2-n+7}{n+1}\); г) \(\frac{(n-1)(n+1)^2-1}{n-1}\).

Ответ: