164. a) 2 sin² x + sin x - 1 = 0; b) 2 sin² x - sin x - 1 = 0;

Решение:

1. 164. а) Решим квадратное уравнение относительно sin x:
1. Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + y - 1 = 0 \]

2. Найдем дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

3. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

4. Теперь вернемся к sin x:
1. sin x = 1/2

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. sin x = -1

\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 164. б) Решим квадратное уравнение относительно sin x:
1. Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - y - 1 = 0 \]

2. Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

3. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

4. Теперь вернемся к sin x:
1. sin x = 1

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. sin x = -1/2

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

• а)\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• б)\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]