165. a) 6 cos² x + cos x - 1 = 0; b) 4 cos² x - 8 cos x + 3 = 0.

Решение:

1. 165. а) Решим квадратное уравнение относительно cos x:
1. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 6y^2 + y - 1 = 0 \]

2. Найдем дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 \]

3. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(6)} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(6)} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

4. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 1/3

\[ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. cos x = -1/2

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 165. б) Решим квадратное уравнение относительно cos x:
1. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 - 8y + 3 = 0 \]

2. Найдем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4(4)(3) = 64 - 48 = 16 \]

3. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2(4)} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

\[ y_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2(4)} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

4. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 3/2. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
2. cos x = 1/2

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

• а)\[ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• б)\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]