166. 6) cos² x + 3 sin x = 3; г) 8 sin² x + cos x + 1 = 0.

Решение:

1. 166. 6) Используем основное тригонометрическое тождество\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ (1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 3 \]

\[ 1 - \sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 \]

\[ -\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \]

\[ \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \]

2. Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

5. Теперь вернемся к sin x:
1. sin x = 2. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
2. sin x = 1

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 166. г) Используем основное тригонометрическое тождество\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ 8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0 \]

\[ 8 - 8\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \]

\[ -8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0 \]

\[ 8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0 \]

2. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 8y^2 - y - 9 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(8)(-9) = 1 + 288 = 289 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2(8)} = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \]

\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2(8)} = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1 \]

5. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 9/8. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
2. cos x = -1

\[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

• 6)\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• г)\[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]