165. 6) 2 sin² x + 3 cos x = 0; г) 5 sin² x + 6 cos x - 6 = 0.

Решение:

1. 165. 6) Используем основное тригонометрическое тождество\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ 2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0 \]

\[ 2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0 \]

\[ 2\cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0 \]

2. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - 3y - 2 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

5. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 2. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
2. cos x = -1/2

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 165. г) Используем основное тригонометрическое тождество\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ 5(1 - \cos^2 x) + 6 \cos x - 6 = 0 \]

\[ 5 - 5\cos^2 x + 6 \cos x - 6 = 0 \]

\[ -5\cos^2 x + 6 \cos x - 1 = 0 \]

\[ 5\cos^2 x - 6 \cos x + 1 = 0 \]

2. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 5y^2 - 6y + 1 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4(5)(1) = 36 - 20 = 16 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2(5)} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2(5)} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

5. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 1

\[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. cos x = 1/5

\[ x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

• 6)\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• г)\[ x = 2\pi n, \quad x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]