166. a) 2 cos² x + sin x + 1 = 0; b) 4 cos x = 4 - sin² x;

Решение:

1. 166. а) Используем основное тригонометрическое тождество\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0 \]

\[ 2 - 2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \]

\[ -2\sin^2 x + \sin x + 3 = 0 \]

\[ 2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0 \]

2. Пусть y = sin x. Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 - y - 3 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

5. Теперь вернемся к sin x:
1. sin x = 3/2. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
2. sin x = -1

\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. 166. б) Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ 4 \cos x - 4 + \sin^2 x = 0 \]

3. Используем основное тригонометрическое тождество\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \].
1. Подставим в уравнение:

\[ 4 \cos x - 4 + (1 - \cos^2 x) = 0 \]

\[ -\cos^2 x + 4 \cos x - 3 = 0 \]

\[ \cos^2 x - 4 \cos x + 3 = 0 \]

2. Пусть y = cos x. Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]

3. Найдем дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \]

4. Найдем корни:

\[ y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

5. Теперь вернемся к cos x:
1. cos x = 3. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.
2. cos x = 1

\[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

• а)\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• б)\[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]