166. Неперпендикулярные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой MN. В плоскости \(\beta\) из точки A проведён перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки A проведён перпендикуляр AC к плоскости \(\alpha\). Докажите, что \(\angle ABC\) — линейный угол двугранного угла AMNC.

Для доказательства того, что \(\angle ABC\) является линейным углом двугранного угла AMNC, нужно показать, что: 1. Прямая AB перпендикулярна прямой MN. 2. Прямая AC перпендикулярна плоскости \(\alpha\), и следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C, включая MN (если MN проходит через C). 3. Прямая BC лежит в плоскости, перпендикулярной MN, и таким образом \(\angle ABC\) является углом между двумя перпендикулярами, выходящими из одной точки к ребру двугранного угла, что по определению является линейным углом. По условию, AB перпендикулярна MN. Также AC перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Поскольку MN является линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), то она лежит в плоскости \(\alpha\). Следовательно, AC перпендикулярна MN (по определению перпендикулярности прямой к плоскости). Теперь, у нас есть AB \(\perp\) MN и AC \(\perp\) MN. Значит, прямая MN перпендикулярна плоскости, проходящей через AB и AC, то есть плоскости ABC. BC является проекцией AB на плоскость \(\alpha\), и так как AC перпендикулярна плоскости \(\alpha\) BC лежит в плоскости \(\alpha\), и так как AB \(\perp\) MN и AC \(\perp\) MN, \(\angle ABC\) будет линейным углом двугранного угла AMNC. Таким образом, \(\angle ABC\) является линейным углом двугранного угла AMNC. Теорема доказана.