168. Двугранный угол равен \(\varphi\). На одной грани этого угла лежит точка, удалённая на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Пусть дан двугранный угол с ребром l. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) - грани этого угла. Пусть точка А лежит на грани \(\alpha\). Пусть расстояние от точки А до плоскости \(\beta\) равно d. Проведем из точки A перпендикуляр к плоскости \(\beta\), пусть основание этого перпендикуляра будет точка H. Точка H лежит на плоскости \(\beta\) и \(AH = d\). Проведем из точки A перпендикуляр AK к ребру l, где K лежит на l. Тогда \(AK\) - это искомое расстояние от точки A до ребра l. Рассмотрим треугольник AHK. Заметим, что угол \(AHK\) прямой, так как AH перпендикулярна плоскости \(\beta\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равен \(\varphi\). Угол \(HAK\) равен \(\varphi\). В прямоугольном треугольнике AHK, имеем: \(\sin(\varphi) = \frac{AH}{AK}\) По условию \(AH=d\), значит, \(\sin(\varphi) = \frac{d}{AK}\) Отсюда выражаем \(AK\): \(AK = \frac{d}{\sin(\varphi)}\) Таким образом, расстояние от точки до ребра двугранного угла равно \(\frac{d}{\sin(\varphi)}\).