167. В тетраэдре DABC все рёбра равны, точка M — середина ребра AC. Докажите, что \(\angle DMB\) — линейный угол двугранного угла BACD.

Для доказательства того, что \(\angle DMB\) является линейным углом двугранного угла BACD, необходимо показать, что: 1. Прямая DM перпендикулярна ребру AC. 2. Прямая BM перпендикулярна ребру AC. Поскольку все ребра тетраэдра равны, треугольники DAC и BAC являются равнобедренными. Точка M — середина стороны AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Таким образом, DM является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике DAC, следовательно, DM \(\perp\) AC. Аналогично, BM является медианой и высотой в равнобедренном треугольнике BAC, следовательно, BM \(\perp\) AC. Теперь, у нас есть DM \(\perp\) AC и BM \(\perp\) AC, что означает, что \(\angle DMB\) — это угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла BACD, выходящими из одной точки (M), что по определению является линейным углом. Следовательно, \(\angle DMB\) является линейным углом двугранного угла BACD. Теорема доказана.