169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

Пусть у нас есть три плоскости: \(\alpha\), \(\beta\), и \(\gamma\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) образуют один двугранный угол, а плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) образуют второй двугранный угол. Плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) являются различными полуплоскостями одной плоскости. Обозначим ребро пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) как линию l1, а ребро пересечения плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\) как линию l2. На ребре l1 возьмем точку A, а на ребре l2 возьмем точку B. Из точек А и B проведем перпендикуляры к ребру пересечения, причем перпендикуляры должны лежать в каждой из плоскостей. Пусть перпендикуляры к l1 в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) будут \(A_1\) и \(A_2\) соответственно. Пусть перпендикуляры к l2 в плоскостях \(\beta\) и \(\gamma\) будут \(B_1\) и \(B_2\) соответственно. Если плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) являются разными полуплоскостями одной плоскости, то это означает, что при построении перпендикуляров \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\) и \(B_2\) в одной плоскости , \(\angle A_1 A_2\) + \(\angle B_1 B_2\) = 180°. Линейные углы двугранных углов образуют смежные углы, так как \(\alpha\) и \(\gamma\) являются полуплоскостями одной и той же плоскости, а их общая сторона это \(\beta\). Поскольку линейные углы двугранных углов являются смежными, их сумма равна 180°. Следовательно, сумма двух двугранных углов равна 180°. Теорема доказана.