170. Из вершины B треугольника ABC, сторона AC которого лежит в плоскости \(\alpha\), проведён к этой плоскости перпендикуляр \(BB_1\). Найдите расстояния от точки B до прямой AC и до плоскости \(\alpha\), если \(AB = 2\) см, \(\angle BAC = 150°\) и двугранный угол \(BACB_1\) равен \(45°\).

Сначала найдём расстояние от точки B до прямой AC. Опустим перпендикуляр BH из точки B на прямую AC. Рассмотрим треугольник ABH. Известно, что \(AB = 2\) см и \(\angle BAC = 150°\). Так как \(\angle BAC\) тупой, перпендикуляр из точки B к AC упадет на продолжение AC. Рассмотрим треугольник ABH, где \(\angle HAB = 180 - 150 = 30^o\). В прямоугольном треугольнике ABH, катет BH лежит напротив угла 30 градусов, следовательно, он равен половине гипотенузы: \(BH = \frac{1}{2}AB\) \(BH = \frac{1}{2} * 2 = 1\) см. Итак, расстояние от точки B до прямой AC равно 1 см. Теперь найдем расстояние от точки B до плоскости \(\alpha\). Это расстояние - длина перпендикуляра \(BB_1\). Двугранный угол \(BACB_1\) равен \(45°\). Так как \(BB_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) и \(BH\) перпендикулярен \(AC\), мы можем сказать, что угол между плоскостью \(ABC\) и \(\alpha\) равен 45 градусам. В плоскости \(ABC\) проведем прямую \(B_1K\) перпендикулярную прямой \(AC\) и \(BB_1K\) угол равен \(45^o\). Так как \(BB_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а \(B_1K\) перпендикулярна прямой \(AC\), и \(BH\) перпендикулярна прямой \(AC\) , следовательно треугольник \(BB_1K\) является прямоугольным и \(\angle BKB_1=45^o\). Также , поскольку \(BH\) перпендикулярна \(AC\) и \(B_1K\) перпендикулярна \(AC\) , мы имеем \(B_1H\) перпендикулярна \(AC\) . В треугольнике \(B_1BH\), угол \(\angle B_1HB\) является линейным углом двугранного угла, и по условию он равен \(45^o\). Так как \(BB_1\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) , треугольник \(BB_1H\) - прямоугольный, с углом \(\angle BB_1H = 90^o\) . В прямоугольном треугольнике с углом \(45^o\) , \(BH = BB_1\). Так как \(BH=1\) см, то \(BB_1 = 1\) см. Таким образом, расстояние от точки B до плоскости \(\alpha\) равно 1 см. Ответ: Расстояние от точки B до прямой AC равно 1 см, а расстояние от точки B до плоскости \(\alpha\) равно 1 см.