167. Решите неравенства: 1) √(x − 2) > 3; 2) √(x − 2) < 1; 3) √(3 − x) > 5; 4) √(4 − x) > 3; 5) √(2x − 3) > 4; 6) √(x + 1) ≥ 2/3; 7) √(3x − 5) < 5; 8) √(4x + 5) ≤ 1/2.

В каждом пункте учитываем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным; после этого сравниваем подкоренные выражения, возводя неотрицательные части в квадрат.

1. \(x\ge2\), и \(x-2>9\). Ответ: \((11;+\infty)\).
2. \(x\ge2\), и \(x-2<1\). Ответ: \([2;3)\).
3. Из области определения \(x\le3\), но \(\sqrt{3-x}\le\sqrt3<5\). Решений нет: \(\varnothing\).
4. \(x\le4\), и \(4-x>9\), откуда \(x<-5\). Ответ: \((-\infty;-5)\).
5. \(2x-3>16\), откуда \(x>\frac{19}{2}\); это также удовлетворяет области определения. Ответ: \((\frac{19}{2};+\infty)\).
6. \(x\ge-1\), и \(x+1\ge\frac49\). Ответ: \([ -\frac59;+\infty)\).
7. \(3x-5\ge0\) и \(3x-5<25\), поэтому \(\frac53\le x<10\). Ответ: \([\frac53;10)\).
8. Из области определения \(x\ge-\frac54\); условие \(\sqrt{4x+5}\le\frac12\) даёт \(4x+5\le\frac14\), то есть \(x\le-\frac{19}{16}\). Ответ: \([ -\frac54;-\frac{19}{16}]\).