171. Решите неравенства: 1) √(x + 1) − √x < √(x − 1); 2) √(x + 3) < √(x − 2) + √(10 − x).

Область определения: \(x\ge1\). Обе сравниваемые части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

\(2x+1-2\sqrt{x(x+1)}

Обе части последнего неравенства положительны. После возведения в квадрат: \((x+2)^2<4x(x+1)\), то есть \(3x^2>4\). С учётом \(x\ge1\) получаем ответ: \((\frac{2}{\sqrt3};+\infty)\).

Область определения: \(2\le x\le10\). Возводим в квадрат обе неотрицательные части:

\(x+3<8+2\sqrt{(x-2)(10-x)}\).

При \(2\le x\le5\) неравенство выполняется: левая часть после переноса не превосходит нуля, а корень неотрицателен. При \(x>5\) возводим в квадрат ещё раз и получаем \(5x^2-58x+105<0\). Корни соответствующего трёхчлена: \(\frac{29\pm2\sqrt{79}}5\). Пересечение с \(x>5\) и областью определения даёт ответ: \([2;\frac{29+2\sqrt{79}}5)\).