17. Боковая сторона трапеции равна 6, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 4 и 12.

Решение:

Пусть боковая сторона \( c = 6 \), и прилежащий к ней угол \( \alpha = 30^{\circ} \).

Основания трапеции \( a = 12 \) и \( b = 4 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Чтобы найти высоту \( h \), опустим из вершины угла \( 30^{\circ} \) высоту на большее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 6 \) и острым углом \( \alpha = 30^{\circ} \).

Высота \( h \) — катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы:

\[ h = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3 \].

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S = \frac{12+4}{2} \cdot 3 = \frac{16}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \].

Ответ: 24