17. Основания трапеции равны 10 и 15. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \( m = \frac{a+b}{2} \). В данном случае, \( m = \frac{10+15}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \).

Диагональ трапеции, пересекая среднюю линию, образует два отрезка. Каждый из этих отрезков параллелен одному из оснований и равен полуразности оснований трапеции.

Один отрезок равен: \( x_1 = \frac{a+m}{2} = \frac{10+12.5}{2} = \frac{22.5}{2} = 11.25 \).

Другой отрезок равен: \( x_2 = \frac{b+m}{2} = \frac{15+12.5}{2} = \frac{27.5}{2} = 13.75 \).

Но если диагональ делит среднюю линию, то отрезок, который она отсекает, параллелен основанию. Тогда отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны полуразности оснований, если диагональ отсекает часть от средней линии.

Диагональ делит среднюю линию на отрезки, длина которых равна полуразности оснований: \( \frac{15-10}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

Сумма длин этих отрезков равна средней линии: \( 2.5 + 10 = 12.5 \) и \( 2.5 + 15 = 17.5 \). Это неверно.

Рассмотрим диагональ, которая делит среднюю линию. Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны полуразности оснований. В условии задачи сказано, что диагональ делит среднюю линию. Средняя линия равна \( 12.5 \).

Диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Длина одного отрезка равна полуразности оснований: \( \frac{15-10}{2} = 2.5 \). Длина другого отрезка равна средней линии минус первый отрезок: \( 12.5 - 2.5 = 10 \).

Больший из отрезков равен 10.

Проверим вычисление на изображении: \( 12.5-5=7.5 \) и \( 15+10/2=12.5 \). Это решение неверно.

Правильное решение: Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, длина которых равна полуразности оснований. \( \frac{15-10}{2} = 2.5 \).

Средняя линия равна \( 12.5 \).

Два отрезка, на которые диагональ делит среднюю линию, равны \( \frac{10}{2} = 5 \) и \( \frac{15}{2} = 7.5 \). Их сумма равна \( 5+7.5=12.5 \), что равно средней линии.

Больший из отрезков равен 7.5.

Ответ: 7.5