22. Постройте график функции y = 3x² - 5x и определите, при каких значениях k прямая y - kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

График функции \( y = 3x^2 - 5x \) — это парабола. Чтобы построить график, найдем вершину параболы и несколько точек.

Абсцисса вершины параболы \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} \).

Ордината вершины параболы:

\( y_в = 3(\frac{5}{6})^2 - 5(\frac{5}{6}) = 3(\frac{25}{36}) - \frac{25}{6} = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} = -\frac{25}{12} \).

Вершина параболы находится в точке \( (\frac{5}{6}, -\frac{25}{12}) \).

Найдем точки пересечения параболы с осью x (приравняем \( y = 0 \)):

\( 3x^2 - 5x = 0 \)

\( x(3x - 5) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( 3x - 5 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{5}{3} \).

Точки пересечения с осью x: \( (0, 0) \) и \( (\frac{5}{3}, 0) \).

Теперь определим, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с параболой \( y = 3x^2 - 5x \) ровно одну общую точку.

Приравняем уравнения:

\( kx = 3x^2 - 5x \)

\( 3x^2 - 5x - kx = 0 \)

\( 3x^2 - (5+k)x = 0 \)

Чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю. Однако, это уравнение имеет вид \( Ax^2 + Bx = 0 \), которое всегда имеет корень \( x=0 \). Поэтому, нам нужно, чтобы одно из решений было \( x=0 \), а другое — действительное число.

Однако, случай, когда прямая касается параболы, является ключевым. Прямая \( y=kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \), которое также является точкой пересечения параболы \( y = 3x^2 - 5x \) с осью x.

Случай, когда прямая имеет ровно одну общую точку с параболой, происходит, когда прямая является касательной к параболе, или когда прямая проходит через вершину параболы.

Прямая \( y=kx \) проходит через начало координат. Мы уже нашли, что \( x=0 \) является одним из решений. Для того, чтобы было ровно одно решение, нам нужно, чтобы \( 3x - (5+k) = 0 \) имело только один корень \( x=0 \). Это произойдет, если \( 5+k = 0 \), то есть \( k = -5 \).

Если \( k = -5 \), то \( 3x^2 - (5-5)x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 3x^2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \). В этом случае есть только одна точка пересечения \( (0,0) \).

Другой случай, когда прямая является касательной. Но \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \). Нам нужно, чтобы \( x=0 \) было единственным решением. Но \( x(3x-(5+k))=0 \) всегда имеет решение \( x=0 \).

Следовательно, чтобы было ровно одно решение, остальные корни должны совпасть или быть одинаковыми.

Рассмотрим уравнение \( 3x^2 - (5+k)x = 0 \). Если \( x=0 \) — единственное решение, то \( 3x - (5+k) \) должно быть равно нулю только при \( x=0 \). Это возможно, если \( 5+k = 0 \), то есть \( k = -5 \). В этом случае \( 3x^2 = 0 \), откуда \( x=0 \). Ровно одна точка пересечения \( (0,0) \).

Также, касательная к параболе может проходить через точку \( (0,0) \).

Мы знаем, что одна точка пересечения — это \( (0,0) \). Уравнение \( 3x^2 - (5+k)x = 0 \) имеет два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{5+k}{3} \). Чтобы было ровно одно решение, нам нужно, чтобы \( x_2 = x_1 \), то есть \( \frac{5+k}{3} = 0 \). Отсюда \( 5+k = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k = -5 \).

Возможно, речь идет о касательной, которая проходит через точку, отличную от \( (0,0) \).

Если прямая \( y=kx \) является касательной к параболе \( y = 3x^2 - 5x \), то система \( \begin{cases} y = kx \\ y = 3x^2 - 5x \end{cases} \) должна иметь одно решение.

\( kx = 3x^2 - 5x \)

\( 3x^2 - (5+k)x = 0 \)

Это уравнение имеет два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{5+k}{3} \).

Для того, чтобы было ровно одно общее решение, эти корни должны совпасть: \( x_1 = x_2 \).

\( 0 = \frac{5+k}{3} \) \( \Rightarrow \) \( 5+k = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k = -5 \).

В этом случае точка пересечения — \( (0, 0) \).

Может ли касательная проходить через вершину параболы? Нет, касательная в вершине параболы — это горизонтальная прямая.

Рассмотрим случай, когда \( x=0 \) — единственная точка пересечения. Это происходит, когда \( k = -5 \).

Однако, если \( y=kx \) является касательной, она может иметь одну точку пересечения, отличную от \( (0,0) \).

Для того, чтобы было ровно одно решение, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения \( 3x^2 - (5+k)x = 0 \) был равен нулю. Но это уравнение линейное относительно \( x \) если \( x \) не равен \( 0 \).

Рассмотрим дискриминант для \( 3x^2 - (5+k)x + 0 = 0 \).

\( D = (-(5+k))^2 - 4(3)(0) = (5+k)^2 \).

Чтобы было одно решение, \( D=0 \). \( (5+k)^2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 5+k = 0 \) \( \Rightarrow \) \( k = -5 \).

В этом случае \( x = 0 \).

График функции \( y = 3x^2 - 5x \) — парабола с вершиной в \( (5/6, -25/12) \) и проходящая через \( (0,0) \) и \( (5/3, 0) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Одна точка пересечения — \( (0,0) \).

Для того, чтобы было ровно одна точка пересечения, нужно, чтобы прямая касалась параболы в другой точке, или чтобы \( x = 0 \) было единственным решением.

Уравнение \( 3x^2 - (5+k)x = 0 \) всегда имеет \( x=0 \) как решение.

Если \( k = -5 \), то \( 3x^2 = 0 \), \( x = 0 \). Одна точка \( (0,0) \).

Если \( k \) другое, то \( x = \frac{5+k}{3} \) — второе решение.

Чтобы было ровно одна общая точка, нужно, чтобы \( x=0 \) было единственным решением, либо чтобы \( x=0 \) и \( x = \frac{5+k}{3} \) были одним и тем же решением.

Случай 1: \( k = -5 \). Тогда \( x=0 \) — единственное решение. Ровно одна точка \( (0,0) \).

Случай 2: \( k \neq -5 \). Тогда есть два решения: \( x=0 \) и \( x = \frac{5+k}{3} \).

Таким образом, только при \( k = -5 \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: k = -5