17) Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда равны 56 \(\text{дм}\)^2 \) и 192 \(\text{дм}\)^2 \), а длина их общего ребра 8 \(\text{дм}\). Найдите объем параллелепипеда. (3 балла)

Решение:

Пусть измерения параллелепипеда равны \( a, b, c \). Площади граней равны \( ab, bc, ac \).

1. Пусть \( a = 8 \) дм (общее ребро).
2. Тогда площади двух других граней: \( ab = 56 \) \(\text{дм}\)^2 \) и \( ac = 192 \) \(\text{дм}\)^2 \).
3. Найдём \( b \) и \( c \):
• \( b = \frac{56}{a} = \frac{56}{8} = 7 \) дм.
• \( c = \frac{192}{a} = \frac{192}{8} = 24 \) дм.
4. Проверим, правильно ли мы определили измерения. Площадь третьей грани \( bc = 7 \text{ дм} \cdot 24 \text{ дм} = 168 \text{ дм}^2 \).
5. Объем параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: \( V = abc \).
6. \( V = 8 \text{ дм} \cdot 7 \text{ дм} \cdot 24 \text{ дм} = 56 \text{ дм}^2 \cdot 24 \text{ дм} = 1344 \text{ дм}^3 \).

Ответ: 1344 \(\text{дм}\)^3 \).