8) Найти корень уравнения \( \left(\frac{1}{32}\right)^{0.5x+1} = 8 \). (2 балла)

Решение:

1. Приведём обе части уравнения к одному основанию (2):
• \( \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5} \)
• \( 8 = 2^3 \)
2. Уравнение примет вид: \( (2^{-5})^{0.5x+1} = 2^3 \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m } \): \( 2^{-5(0.5x+1)} = 2^3 \).
4. \( 2^{-2.5x - 5} = 2^3 \).
5. Приравняем показатели степеней: \( -2.5x - 5 = 3 \).
6. \( -2.5x = 3 + 5 \).
7. \( -2.5x = 8 \).
8. \( x = \frac{8}{-2.5} = \frac{8}{-\frac{5}{2}} = 8 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{16}{5} = -3.2 \).

Ответ: -3.2.